数学メモ

Mathematics

ある数aを底とする累乗はeを底とする累乗に書き直すことができる。

a^x = e^{xlog(a)}

ここでlogの底はeである。これは以下のように示せる。

まず指数関数の逆関数が対数関数でなので

e^{log(x)} = x

である。ここで a^x の底であるaを書き換えると

(e^{log(a)})^x

となる。指数法則より、

(e^{log(a)})^x = e^{xlog(a)}

これを使うことによって、たとえば f(x) = x^x などが容易に微分できる。

f(x) = x^x = e^{xlog(x)}

であるから、

g(t) = e^t \\ h(x) = xlog(x)

とおいて、合成関数の微分を行えばよい。

g^\prime(t) = e^t \\ h^\prime(x) = log(x) + 1

なので、

f^\prime(x) = g^\prime(h(x))h^\prime(x) \\ \hspace{38} = (log(x) + 1)e^{xlog(x)} \\ \hspace{38} = (log(x) + 1)x^x

となる。

これを使って指数が虚数の場合の累乗も計算できる。たとえば 2^i は

2^i = e^{ilog(2)}

である。ここでオイラーの公式を使えば

e^{ilog(2)} = cos(log(2)) + isin(log(2)) \\ \hspace{56}\sim 0.769239 + 0.638961i

となる。

別に何も凄いわけじゃないんだけど、数学おもしれええええええええええええいやっふううううううう